Question

关于函数f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的如下结论：
①f（x）是偶函数；②函数f（x）的值域为（-2，2）；
③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；④函数y=|f（x-1）|的图象关于直线x=1对称；
其中正确结论的序号有

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由定义域关于原点对称且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数，即可判断①；
利用不等式的性质可得，-2＜f（x）＜2，即可判断②；
根据奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，可得函数f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
故当x₁≠x₂时，一定有f（x₁）≠f（x₂），即可判断③；
首先判断y=|f（x）|的奇偶性，得到图象的对称，再由图象平移规律，即可判断④．

解答： 解：对于①，函数f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的定义域为R，
由f（-x）=

-2x

1+|x|

=-f（x），可得f（x）是奇函数，故①错；
对于②，由于-|x|≤x≤|x|，∴-

2|x|

1+|x|

≤f（x）≤

2|x|

1+|x|

．
∴-

2|x|+2

|x|+1

＜f（x）＜

2|x|+2

1+|x|

，∴-2＜f（x）＜2，故②正确；
对于③，当x＞0时，f（x）=

2x

1+x

=

2(x+1)-2

x+1

=2-

2

x+1

＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
再由奇函数的性质可得，函数f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
且f（x）＜0，f（0）=0，故当x₁≠x₂时，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正确；
对于④，y=|f（x）|=

2|x|

1+|x|

为偶函数，图象关于y轴对称，
y=|f（x-1）|的图象可由y=|f（x）|的图象向右平移1个单位得到，
则有函数|f{x-1）|的图象关于直线x=1对称，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域，函数的对称性的判断，属于基础题和易错题．