Question

已知函数y=f（x）是定义在区间[-4，4]上的偶函数，且x∈[0，4]时，f（x）=

1

x+1

+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的顶点A、B在函数y=f（x）的图象上，顶点C、D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇偶性转换为x∈[0，4]时，f（x）=

1

x+1

+1求解．
（2）根据函数的对称性可设A（-x，y），B（x，y），C（x，0），D（-x，0），0＜x≤4，列出函数关系式，运用单调性求解．

解答： 解：（1）∵函数y=f（x）是定义在区间[-4，4]上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∵x∈[0，4]时，f（x）=

1

x+1

+1．
∴设x∈[-4，0]，则-x∈[0，4]，
f（x）=f（-x）

1

-x+1

+1=1-

1

x-1

，
∴f（x）=

1+ 1 x+1 ，x∈[0，4] 1- 1 x-1 ，x∈[-4.0]

，
（2）根据函数的对称性可设A（-x，y），B（x，y），C（x，0），D（-x，0），0＜x≤4
∴S_矩形ABCD=2x（

1

x+1

+1）=

2x

x+1

+2x=2+2x-

2

x+1

，x∈（0.4]，
∵函数单调递增，
∴S=2+2x-

2

x+1

，x∈（0.4]，当x=4时最大值为2+8-

2

5

=

48

5

，
故矩形ABCD面积的最大值

48

5

．

点评：本题考查了函数的单调性，奇偶性的运用，属于中档题．