Question

如图，正方形 ABCD 和正方形 CDEF所在平面互相垂直，M为FC的中点．
（1）求证：AF∥平面MBD；
（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO，可得△ACF中，MO为中位线，即MO∥AF，进而由线面平行的判定定理可得AF∥平面MBD；
（2）由（1）中MO∥AF，可得AF与BM所成角即∠OMB，解三角形可得：异面直线AF与BM所成角的余弦值．

解答： 证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO 
∵ABCD为正方形，
∴O为AC中点
∵△ACF中，M为EC中点
∴MO∥AF
又∵MO?平面MBD，AF?平面MBD，
∴AF∥平面MBD． 
（2）解：根据（1）得AF∥OM，
AF与BM所成角即∠OMB，
设正方形边长为a，
则AC=

2

a，AF=

3

a，MO=

1

2

AF=

3

2

a，MC=

1

2

a
∴MB=

MC2+CB2

=

5

2

a
∴cos∠BMO=

MO

MB

=

3 2 a

5 2 a

=

15

5

．

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，难度中档．