Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，过其对角线BD₁的平面分别与AA₁、CC₁相交于点E，F，求截面四边形BED₁F面积的最小值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由条件根据面面平行的性质定理，证得四边形EBFD₁的形状为平行四边形．作EH⊥BD₁，H为垂足，且H∈BD₁，要求四边形BED₁F面积的最小值，转化为求EH的最小值． 由AA₁∥平面BDD₁B₁，可得当且仅当EH为直线AA₁到平面BDD₁B₁的距离时，EH最小为

2

2

，从而求得截面四边形BED₁F面积的最小值2×（

1

2

BD₁•EH）的值．

解答： 解：因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AA₁DD₁与平面BB₁C₁CP平行，
而经过对角线BD₁的平面分别与这两个相交于D₁E与BF，
根据面面平行的性质定理，故D₁E∥BF，同理可证BE∥FD₁，
所以四边形EBFD₁的形状为平行四边形．
作EH⊥BD₁，H为垂足，且H∈BD₁，要求四边形BED₁F面积的最小值，转化为求EH的最小值．∵AA₁∥平面BDD₁B₁，∴当且仅当EH为直线AA₁到平面BDD₁B₁的距离时，EH最小，易得EH_min=

2

2

，
截面四边形BED₁F面积的最小值为2×（

1

2

BD₁•EH）=

3

a×

2

2

=

6

2

a．

点评：本题主要考查正方体的性质，面面平行的性质定理，体现了转化的数学思想，属于基础题．