Question

12．已知抛物线Г：y²=12x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线Г交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线的横截距为a（a＞0），n=|AF|+|BF|，则2a-n=6．

Answer 1

分析 抛物线C：y²=12x的焦点为F（3，0），准线方程为x=-3，利用n=|MF|+|NF|，由抛物线的定义可得n=x_M+3+x_N+3=2x₀+6，求出线段MN的垂直平分线方程，确定线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标a，即可得出结论．

解答 解：抛物线C：y²=12x的焦点为F（3，0），准线方程为x=-3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设AB的中点坐标为（x₀，y₀），2x₀=x₁+x₂，2y₀=y₁+y₂，
∵n=|AF|+|BF|，
∴由抛物线的定义可得n=x₁+3+x₂+3=2x₀+6．
线段AB的垂直平分线方程为y-y₀=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），
令y=0，x=ky₀+x₀=a，
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=12{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=12{x}_{2}}\end{array}\right.$，两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=12（x₁-x₂）
由k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∴ky₀=6，
∴a=6+x₀，
∴2a-n=6．
故答案为6．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．