Question

4．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），A，B为抛物线上不重合的两动点，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，过A，B作抛物线的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂交于点M．
（1）求抛物线的方程；
（2）问：直线AB是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；
（3）三角形ABM的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值．

Answer 1

分析 （1）根据焦点坐标得出p，得出抛物线方程；
（2）设直线AB方程为y=kx+b，联立方程组，利用根与系数的关系和x₁x₂+y₁y₂=-4，得出b=2；
（3）求出l₁，l₂的方程，得出M点坐标，计算|AB|和M到直线AB的距离，代入面积公式即可得出面积的最小值．

解答 解：（1）由焦点坐标为（0，1）可知$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
∴抛物线方程为：x²=4y．
（2）由题意可知直线AB必存在斜率，设直线AB的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=-4b，
∴y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{16}$=b²，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4，
∴-4b+b²=-4，解得b=2．
∴直线AB过定点（0，2）．
（3）由x²=4y得y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
∴直线l₁的方程为：y-y₁=$\frac{1}{2}{x}_{1}$（x-x₁），①
直线l₂的方程为：y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），②
联立①②可得M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），由（2）可知x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∴M（2k，-2），
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
由直线AB的方程为：y=kx+2，即kx-y+2=0，
M到直线AB的距离d=$\frac{2{k}^{2}+4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=4（k²+2）$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
∴当k=0时，三角形ABM的面积取得最小值8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．