Question

11．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值4．
（I）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当a＞0时，求曲线y=f（x）在点（-2，f（-2））处的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的解析式，计算f（-2），f′（-2）的值，求出切线方程即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
由f（x）在x=1处有极值4，
得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f（1）=1+a+b{+a}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）a＞0时，由（Ⅰ）得a=3，b=-9，
故f（x）=x³+3x²-9x+9，f′（x）=3x²+6x-9，
故f（-2）=31，f′（-2）=-9，
故切线方程是：y-31=-9（x+2），
整理得：9x+y-13=0．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．