Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，设F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁作直线m与曲线C交于P、Q两点，求△PQF₂的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率公式，求得2a²=3b²，利用点到直线的距离公式，即可求得b及a的值，求得椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，根据函数的单调性即可求得△PQF₂的面积的最大值．

解答 解：（1）椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则2a²=3b²，
由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切
∴b=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，则b²=2，a²=3，
∴椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴设直线m：x=my-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（2m²+3）y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2{m}^{2}+3}$，
△PQF₂的面积S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨
=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（2{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{16}{2{m}^{2}+3}}$=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（2{m}^{2}+3）^{2}}}$
=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{4（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+4}}$，
设m²+1=t，t≥1，
则S=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{4t+\frac{1}{t}+4}}$，t≥1，设f（t）=$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{4t+\frac{1}{t}+4}}$，
由函数的单调性可知：f（t）在（1，+∞）单调递减，则当t=1时取最大值，最大值为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴当m=0时，△PQF₂的面积取最大值，最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△PQF₂的面积的最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，函数单调性与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．