Question

3．过点（3，0）的l与圆x²+y²+x-6y+3=0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），求l的方程．

Answer 1

分析 直线l的斜率存在，可设直线l：y=k（x-3），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线和圆进行联立，利用判别式大于0和根与系数之间的关系建立条件方程，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简整理解方程k的斜率k，即可求出直线方程．

解答 解：由（3，0）代入圆的方程，可得直线x=3与圆无交点，
可设直线l：y=k（x-3），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+x-6y+3=0}\end{array}\right.$，
消y得（1+k²）x²-（6k²+6k-1）x+9k²+18k+3=0，
△=（6k²+6k-1）²-4（1+k²）（9k²+18k+3）＞0，
由韦达定理得，x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}+6k-1}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}+18k+3}{1+{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂+9-3（x₁+x₂）]
=k²（$\frac{9{k}^{2}+18k+3}{1+{k}^{2}}$+9-3•$\frac{6{k}^{2}+6k-1}{1+{k}^{2}}$）=$\frac{15{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，
∴k_OP•k_OQ=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1，
故x₁x₂+y₁y₂=0，
从而可得$\frac{9{k}^{2}+18k+3}{1+{k}^{2}}$+$\frac{15{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$，代入判别式均大于0成立，
则直线l的方程为x+2y-3=0或x+4y-3=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，联立方程组利用根与系数之间的关系建立条件，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查学生的计算能力，属于中档题．