Question

8．已知m为实数，函数f（x）=$\frac{2m}{3}$x³+x²-3x-mx+2，g（x）=f′（x），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）在区间[-1，1]上有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）m=0时，不合题意，m≠0时，根据二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{2m}{3}$x³+x²-3x-mx+2，
得f′（x）=2mx²+2x-3-m，
m=1时，f′（x）=2（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
故f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）由（1）得g（x）=2mx²+2x-3-m，
若g（x）在区间[-1，1]上有零点，
则方程g（x）=2mx²+2x-3-m=0在[-1，1]上有解，
m=0时，g（x）=2x-3在[-1，1]上没有零点，故m≠0，
方程g（x）=2mx²+2x-3-m=0在[-1，1]上有解等价于
g（-1）•g（1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\\{△=4+8m（3+m）≥0}\\{-1≤-\frac{1}{2m}≤1}\end{array}\right.$，
解得：1≤m≤5或m≤$\frac{-3-\sqrt{7}}{2}$或m≥5，
故m的范围是（-∞，$\frac{-3-\sqrt{7}}{2}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质、考查转化思想，函数的零点问题，是一道中档题．