Question

13．对于函数f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（2）是否存在实数a，使得f（x）是奇函数，若存在请求出a的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）按照：取值、作差变形、判断符号下结论的步骤进行；
（2）先利用f（0）=0求出a的值，然后验证即可；

解答 解：（1）f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=a+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
因为y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
所以${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$＞0，所以上式＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上是单调减函数．
（2）因为x∈R，所以f（0）=0，解得a=-1，
经验证a=-1时，f（-x）=-f（x）恒成立，
故a=-1即为所求．

点评 本题考查了函数的奇偶性性质，以及函数的单调性，难度不大．