Question

已知f（x）=3^2x-（k+1）3^x-2，当x∈[1，+∞]时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先换元，令3^x=t，得到函数g（t）=t²-（k+1）t-2，t≥3，该函数为二次函数，所以讨论对称轴和3的关系，从而求出g（t）的最小值．根据已知条件，需满足最小值大于0，所以让最小值大于0求k的取值范围即可．

解答： 解：设3^x=t，g（t）=t²-（k+1）t-2，t≥3；
该函数的对称轴为x=

k+1

2

；
∴①若

k+1

2

＞3，g（t）的最小值为

-8-(k+1)2

4

＜0，不符合f（x）恒为正值；
②若

k+1

2

≤3，即k≤5，g（t）在[3，+∞）上单调递增；
∴g（t）在[3，+∞）上的最小值为g（3）=4-3k；
由f（x）恒为正值知g（t）在[3，+∞）上恒为正值；
∴只要4-3k＞0，即k＜

4

3

；
∴k＜

4

3

；
综上得k的取值范围是（-∞，

4

3

）．
故答案为：（-∞，

4

3

）．

点评：考查指数函数的单调性，二次函数的单调性及二次函数的最小值，以及换元解决问题的方法．