Question

已知函数，f（x）=sin（ωx+

π

3

）且f（

π

6

）=1．
（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；
（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=

1

2

sin

1

2

x的图象．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知可得sin（ω•

π

6

+

π

3

）=1，于是ω•

π

6

+

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z），当k=0时，ω取得最小正值1．可求解析式y=sin（x+

π

3

）；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得到y=

1

2

sin

1

2

x的图象．

解答： 解：（本题满分14分）（1）因为f（

π

6

）=1，所以sin（ω•

π

6

+

π

3

）=1，-------（4分）
于是ω•

π

6

+

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z），即ω=1+12K（k∈Z），
故当k=0时，ω取得最小正值1．此时y=sin（x+

π

3

）．----------（7分）
（2）（方法一）先将y=sin（x+

π

3

）的图象向右平移

π

3

个单位得y=sinx的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sin

1

2

x的图象；
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的

1

2

倍（横坐标不变）得y=

1

2

sin

1

2

x的图象．-----------------------（14分）
（方法二）先将y=sin（x+

π

3

）的图象各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sin（

1

2

x+

π

3

）的图象；
再将所得图象向右平移

2π

3

个单位得=sin

1

2

x的图象；
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的

1

2

倍（横坐标不变）得y=

1

2

sin

1

2

x的图象．

点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．