Question

10．已知x＞1，则函数$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x-1}$的最小值为$3+2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 化简函数的解析式，得到x-1为整体的关系式，利用基本不等式转化求解最值即可．

解答 解：x＞1，则函数$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x-1}$=x-1+$\frac{3}{x-1}$+3≥3+2$\sqrt{（x-1）（\frac{3}{x-1}）}$=3+2$\sqrt{3}$．
当且仅当x=1+$\sqrt{3}$时，函数取得最小值．
最小值为$3+2\sqrt{3}$．
故答案为：3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．