Question

已知双曲线的两条渐近线均和圆C：（x-1）²+y²=

1

5

相切，且双曲线的右焦点为抛物线y²=4

5

x的焦点，则该双曲线的标准方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，即有c=

5

，设出双曲线的方程，求出渐近线方程，再由直线和圆相切的条件d=r，得到a=2b，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到双曲线方程．

解答： 解：抛物线y²=4

5

x的焦点为（

5

，0），
即有双曲线的焦点在x轴上，且c=

5

，
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
渐近线方程为y=±

b

a

x，
由直线和圆相切的条件：d=r，可得，

| b a |

1+ b2 a2

=

5

5

，化简得，a=2b，
则c²=a²+b²=5b²=5，解得，b=1，a=2．
则双曲线的方程为：

x2

4

-y²=1．
故答案为：

x2

4

-y²=1．

点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题．