Question

已知，等差数列{a_n}的公差d＞0，其前n项和为S_n，a₁=1，S₂S₃=36；
（1）求出数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和公式S_n
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n-b_n-1=dⁿ（n≥2），求数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）利用等差数列的前n项和公式，由S₂S₃=36得到公差d的方程，解方程求出d的值，利用等差数列通项及前n项和公式，求出数列的通项及前n项和；（2）利用b_n-b_n-1=dⁿ（n≥2），进行列举，叠加后得到数列{b_n}的通项公式b_n，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n满足S₂S₃=36，
∴（2a₁+d）（3a₁+3d）=36，
又∵数列{a_n}的公差d＞0，
解得：d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
SSn=

n(a1+an)

2

=n²．
（2）由（1）知：d=2，
∵b₁=2，b_n-b_n-1=dⁿ（n≥2），
∴b₁=2，
b2-b1=22，
b3-b2=23，
b4-b3=24，
…
b_n-b_n-1=2ⁿ，
∴叠加以上各式，得到：
bn=2+22+23+…+2n
∴bn=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查了函数方程思想和叠加法求数学通项，本题难度不大，有一定的计算量，属于中档题．