Question

已知{f_n（x）}满足f₁（x）=

x

1+x2

（x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
（1）求f₂（x），f₃（x），并猜想f_n（x）的表达式；
（2）用数学归纳法证明对f_n（x）的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，计算f₂（x）=f₁[f₁（x）]可求得f₂（x），同理可求f₃（x）；
（2）由（1）可猜想fn(x)=

x

1+nx2

，然后用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）f2(x)=f1[f1(x)]=

f1(x)

1+f12(x)

=

x

1+2x2

---------------------1
f3(x)=f1[f2(x)]=

f2(x)

1+f22(x)

=

x

1+3x2

---------------------1
猜想：fn(x)=

x

1+nx2

，（n∈N^*）---------------------2
（2）下面用数学归纳法证明fn(x)=

x

1+nx2

，（n∈N^*）
①当n=1时，f1(x)=

x

1+x2

，显然成立；--------------------1
②假设当n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即fk(x)=

x

1+kx2

，--------------------1
则当n=k+1时，fk+1(x)=f1[fk(x)]=

x 1+kx2

1+( x 1+kx2 )2

=

x

1+(k+1)x2

即对n=k+1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想fn(x)=

x

1+nx2

对一切n∈N^*都成立．--------------------2

点评：本题考查归纳推理，着重考查数学归纳法的应用，突出考查推理证明的能力，属于中档题．