Question

己知函数f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

cosωxsinωx（ω＞0），f（x）的两条相邻对称轴间的距离大于等于

π

2

．
（1）求ω的取值范围；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c═

3

，b+c=3f（A）=1，当ω=1时，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,二倍角的正弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）函数化简为f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由三角函数的图象和性质即可求得ω的取值范围；
（2）先求出A的值，由余弦定理得bc=2，从而可求S_△ABC=

1

2

bcsinA．

解答： 解：（1）f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

cosωxsinωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵ω＞0∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

π

ω

由题意得：

T

2

≥

π

2

，即有T=

π

ω

≥π，
解得：0＜ω≤1．
（2）∵ω=1，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），∵f（A）=1，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

）∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
∵a=

3

，b+c=3，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=3   ①
∵（b+c）²=b²+c²+2bc=9                              ②
联立①②式，可解得：bc=2，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：本题主要考察了余弦定理的应用，二倍角的正弦公式的应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于中档题．