Question

12．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为R，对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时f（x）＜0且f（3）=-1．
（1）求f（1）、f（9）、f（$\frac{1}{9}$）的值．
（2）若不等式f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（$\frac{1}{9}$）的值；
（2）当x＞1时，f（x）＜0，确定函数单调性，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．

解答 解：（1）令x=y=1易得f（1）=0．
f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2
f（9）+f（$\frac{1}{9}$）=f（1）=0，得f（$\frac{1}{9}$）=2．
（2）设0＜x₁＜x₂，由条件（1）可得f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
因$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，所以知f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
不等式f（2-x）＜2可化为f（2-x）＜f（$\frac{1}{9}$），
所以0＜2-x＜$\frac{1}{9}$，
所以$\frac{17}{9}$＜x＜2．

点评 考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想．