Question

1．已知1＜x＜m，a=log_m²x，b=log_mx²，c=log_m（log_mx），试比较a、b、c的大小．

Answer 1

分析 由1＜x＜m得y=log_mx 是一个增函数，比较b、c则是比较x²和log_mx的大小，比较a、b，利用对数的性质把a、b作差比较大小，由此能比较a、b、c的大小．

解答 解：∵m＞1，∴由1＜x＜m得，
y=log_mx 是一个增函数，则我们要比较函数的大小只需比较自变量x的大小．
∴比较b、c则是比较x²和log_mx的大小．
∵1＜x＜m，
∴0＜log_mx＜1，x²＞1；
通过y=log_mx底数大于0的对数函数图象]可知，
log_mx²＞0，log_m（log_mx）＜0，所以b＞c，
∵a=log_m²x，而 log_mx＞0，∴a＞0，∴a＞c，
比较a、b，利用对数的性质：log_ab²=2 log_ab，
把b化为2log_mx，
可以把a、b作差比较大小，
b-a=2log_mx-（log_mx）²
=log_mx（2-log_mx），
∵2-log_mx＞0，0＜log_mx＜1，
∴b＞a，∴b＞a＞c．

点评 本题考查对数值大小的比较，是中档题，解题时要认真这题，注意对数性质的合理运用．