Question

2．设奇函数f（x）是定义域在R上的减函数，且不等式f（x²-a）+f（2x-1）＜0对于任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，2）．

Answer 1

分析 由奇函数的定义可得f（x²-a）＜f（1-2x），由f（x）为定义在R上的减函数，即有x²-a＞1-2x，对任意x∈[1，3]恒成立，即为a＜x²-1+2x对任意x∈[1，3]恒成立，运用二次函数的最值求法，可得最小值，进而得到a的范围．

解答 解：不等式f（x²-a）+f（2x-1）＜0，
即为f（x²-a）＜-f（2x-1），
由奇函数f（x），可得f（1-2x）=-f（2x-1），
即有f（x²-a）＜f（1-2x），
由f（x）为定义在R上的减函数，
即有x²-a＞1-2x，对任意x∈[1，3]恒成立，
即为a＜x²-1+2x对任意x∈[1，3]恒成立，
由x²+2x-1=（x+1）²-2在[1，3]上递增，
当x=1时取得最小值2，
即有a＜2．
故答案为：（-∞，2）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．