Question

18．在直角坐标系下，直线l经过点P（-1，2），倾斜角为α，以原点为极点，x轴的正向为极轴，建立极坐标系，在此极坐标系下，曲线C：ρ=-2cosθ．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B（A，B也可能重合），求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直线l经过点P（-1，2），倾斜角为α，能求出直线l的参数方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标系方程．
（2）将l的参数方程代入（x+1）²+y²=1，得到根的判别式和韦达定理能求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

解答 解：（1）∵在直角坐标系下，直线l经过点P（-1，2），倾斜角为α，
∴直线l的参数方程$l：\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$，
∵曲线C：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标系方程x²+y²=-2x，即：（x+1）²+y²=1．…5分
（2）将l的参数方程$l：\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$代入（x+1）²+y²=1，
得：（tcosα）²+（2+tsinα）²=1
整理t²+4tsinα+3=0，
$△=16{sin^2}α-12≥0⇒|{sinα}|≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}||{PB}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{4|{sinα}|}}{3}≥\frac{2}{3}\sqrt{3}$．…10分

点评 本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标系方程的求法，考查$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．