Question

10．已知y=x²+2ax+1
（1）若当x∈[-1，2]时，y的最大值为4，求a．
（2）若当a∈[-1，2]时，y的最大值为4，求x．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次函数的性质结合函数的最值性进行求解．
（2）利用参数转化法构造函数g（a），利用一次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）设y=f（x），则f（x）=（x+a）²+1-a²
当|-a-（-1）|≥|-a-2|即$a≤-\frac{1}{2}$时，f（x）_max=f（-1）=2-2a=4，
解得：a=-1
当|-a-（-1）|＜|-a-2|即$a＞-\frac{1}{2}$时，f（x）_max=f（2）=5+4a=4，
解得：$a=-\frac{1}{4}$∴$a=-1或a=-\frac{1}{4}$…6
（2）设y=g（a），则g（a）=2xa+（x²+1）
当2x=0即x=0时，g（a）=1不符合题设，舍去
当2x＞0即x＞0时，$g{（a）_{max}}=g（2）={x^2}+4x+1=4$
解得：$x=-2+\sqrt{7}$或$x=-2-\sqrt{7}$（舍）
当2x＜0即x＜0时，$g{（a）_{max}}=g（-1）={x^2}-2x+1=4$
解得：x=3（舍）或x=-1，
∴$x=-2+\sqrt{7}或x=-1$…12

点评 本题主要考查一元二次函数的性质，对于含有参数的数学问题，一般使用参数转化法进行求解．