Question

8．已知cos2α=$\frac{4}{5}$，求sin2α，tan2α以及cos⁴α+sin⁴α的值．

Answer 1

分析 利用三角函数的倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行化简进行求解即可．

解答 解：∵cos2α=$\frac{4}{5}$，
∴sin2α=±$\sqrt{1-co{s}^{2}2α}$=±$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=±$\frac{3}{5}$，
则tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{±\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=±$\frac{3}{4}$，
cos⁴α+sin⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α
=1-2（sinαcosα）²=1-$\frac{1}{2}$sin²2α=1-$\frac{1}{2}$•（±$\frac{3}{5}$）²
=1-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{25}$=1-$\frac{9}{50}$=$\frac{41}{50}$．

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行化简是解决本题的关键．