Question

3．已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+1=0垂直，则$\frac{2}{{3{{sin}^2}θ-{{cos}^2}θ}}$=（　　）

• A． $\frac{10}{3}$
• B． 一$\frac{10}{3}$
• C． $\frac{10}{13}$
• D． 一$\frac{10}{13}$

Answer 1

分析 直线x-3y+1=0的斜率=$\frac{1}{3}$，因此与此直线垂直的直线的斜率k=-3．可得tanθ=-3．再利用同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：直线x-3y+1=0的斜率=$\frac{1}{3}$，因此与此直线垂直的直线的斜率k=-3．
∴tanθ=-3．
∴$\frac{2}{{3{{sin}^2}θ-{{cos}^2}θ}}$=$\frac{2（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）}{3si{n}^{2}θ-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2（ta{n}^{2}θ+1）}{3ta{n}^{2}θ-1}$=$\frac{2（{3}^{2}+1）}{3×{3}^{2}-1}$=$\frac{10}{13}$．
故选：C．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．