Question

13．设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）通过题意，利用$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，计算即得结论；
（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用$\frac{5b}{a}$×（$-\frac{b}{a}$）=-1，即得结论．

解答 （Ⅰ）解：设M（x，y），已知A（a，0），B（0，b），由|BM|=2|MA|，
所以$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，即（x-0，y-b）=2（a-x，0-y），
解得x=$\frac{2}{3}$a，y=$\frac{1}{3}$b，即可得$M（\frac{2a}{3}，\frac{b}{3}）$，┅┅┅┅┅┅┅（3分）
所以$\frac{b}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，所以椭圆离心率$\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）证明：因为C（0，-b），所以N$（\frac{a}{2}，-\frac{b}{2}）$，MN斜率为$\frac{5b}{a}$，┅┅┅┅┅┅┅（9分）
又AB斜率为$-\frac{b}{a}$，所以$\frac{5b}{a}$×（$-\frac{b}{a}$）=-1，所以MN⊥AB．┅┅┅┅┅┅┅（12分）

点评 本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．