Question

设数列{a_n}的前n项的和S_n与a_n的关系是S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*，推导出a1=

1

4

，2nan-2n-1an-1=

1

2

，由此能求出数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）由an=

n

2n+1

，利用错位相减法能求出Sn=1-

n+2

2n+1

，再利用分组求和法和错位相减法能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项的和S_n与a_n的关系是S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*，
∴当n=1时，S₁=a₁=-a₁+1-

1

2

，解得a1=

1

4

，
当n≥2时，a_n=Sn-Sn-1=-an+an-1+

1

2n

，
∴2nan-2n-1an-1=

1

2

，
∴2nan=2×a1+(n-1)×

1

2

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴an=

n

2n+1

．
（Ⅱ）∵an=

n

2n+1

，
∴S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，①

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，②
①-②，得

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

（1-

1

2n

）-

n

2n+2

，
∴Sn=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=n-（

3

22

+

4

23

+…+

n+2

2n+1

），③

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

23

+

4

24

+…+

n+2

2n+2

），④
③-④，得

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

4

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+2

2n+2

）
=

1

2

n-[

3

4

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+2

2n+2

]
=

1

2

n-

3

4

-

1

4

+

1

2n+1

+

n+2

2n+2

，
∴Tn=n-2+

n+4

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法和错位相减求和法的合理运用．