Question

已知数列{a_n}各项为非负实数，前n项和为S_n，且S

2 n

-n²S_n-（n²+1）=0
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，求

1

S2-2

+

1

S3-2

+

1

S4-2

+…+

1

Sn-2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）将给出的等式分解因式可得Sn=n2+1，然后利用数列中的a_n和S_n的关系式求出a_n，注意要验证当n=1时a₁是否满足，若满足通项写出一个式子，若不满足须写出分段函数的形式．
（2）由（1）已求出Sn=n2+1，代入所求式子后裂 求和即可．

解答： 解：（1）∵Sn2-n2Sn-(n2+1)=0，
∴（S_n+1）[S_n-（n²+1）]=0，
又∵数列{a_n}各项为非负实数，∴Sn=n2+1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+1）-[（n-1）²+1]=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2，
∵当n=1时，2n-1=1≠a₁，
∴an=

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（2）∵Sn=n2+1，
∴当n≥2时，

1

S2-2

+

1

S3-2

+

1

S4-2

+…+

1

Sn-2

=

1

22-1

+

1

32-1

+

1

42-1

+…+

1

n2-1

=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=

1

2

(

1

1

+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)
=

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．