Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C大小为30°，求QM的长．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量

AP

和

BM

的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为

n

=(0，0，1)，又可求得平面MBQ法向量为

m

=(

3

，0，

1-λ

λ

)，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．

解答： 解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ
又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD． 
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则Q（0，0，0），A（1，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)
∵M是PC中点，∴M(-

1

2

，

3

2

，

3

2

)，
∴

AP

=(-1，0，

3

)，

BM

=(-

1

2

，-

3

2

，

3

2

)
设异面直线AP与BM所成角为θ
则cosθ=|cos＜

AP

，

BM

＞|=|

AP • BM

| AP || BM |

|=

2

7

7

，
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为

2

7

7

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为

n

=(0，0，1)，
由 

QM

=λ

QP

+(1-λ)

QC

，且0≤λ≤1，得

QM

=(λ-1，

3

(1-λ)，

3

λ)，
又

QB

=(0，

3

，0)，∴平面MBQ法向量为

m

=(

3

，0，

1-λ

λ

)．
∵二面角M-BQ-C为30°，∴cos30°=|

n • m

| n || m |

|=

3

2

，
∴λ=

1

4

．∴|QM|=

39

4

点评：本题考查空间角，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．