Question

6．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≥0\\ x-2y+1≤0\\ x+y-5≤0\end{array}$，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{5+2\sqrt{6}}}{2}$
• B． $5+2\sqrt{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 首先画出可行域，得到目标函数取最小值时a，b满足的等式，然后对所求变形为基本不等式的形式求最小值．

解答 解：画出可行域如图，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$得到H（1，1），
∵当a＞0，b＞0，所以z在H（1，1）处取得最小值，
故a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）•\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}（1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1）≥1+\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}=2$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是2；
故选D．

点评 本题考查了简单线性规划问题以及利用基本不等式求最小值；正确求出a+b=2是解答本题的关键．