Question

18．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线C过点$P（3，\sqrt{5}）$，离心率为$\sqrt{2}$．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C的左顶点A引C的一条渐近线的平行线l，求直线l与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）确定双曲线的焦点在x轴上，设其方程为x²-y²=a²，代入$P（3，\sqrt{5}）$得a²=4，即可求双曲线C的方程；
（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．

解答 解：（1）设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，则$\frac{b}{a}=\frac{{\sqrt{{c^2}-{a^2}}}}{a}=\sqrt{{e^2}-1}=1$--（2分）
∴a=b，故双曲线的渐近线方程为y=±x，----------（4分）
将x=3代入y=x得$y=3＞\sqrt{5}$，
故双曲线的焦点在x轴上，--------（6分）
设其方程为x²-y²=a²，代入$P（3，\sqrt{5}）$得a²=4，
故所求双曲线方程为x²-y²=4．----------（8分）
（2）双曲线x²-y²=4的左顶点A（-2，0），渐近线方程为y=±x
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=x+2，--------（10分）
它与双曲线的另一渐近线y=-x交于M（-1，1）
∴所求三角形的面积为.$S=\frac{1}{2}|{OA}|{y_M}=\frac{1}{2}×2×1=1$---------------（12分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．