Question

17．已知数列{a_n}的首项a₁=1，数列{b_n}是公比为16的等比数列，且${b_n}={2^{a_n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）设${c_n}=\frac{S_n}{n}•{2^{n-1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）对于${b_n}={2^{a_n}}$．令n=1，求出b₁=2，即可求出b_n=2^4n-3，根据对数的运算性质可得a_n=4n-3，得到数列为等差数列，即可求出数列的前n项和S_n；
（2）先求出${c_n}=\frac{S_n}{n}•{2^{n-1}}$=（2n-1）•2^n-1，再根据错位相减法即可求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）且${b_n}={2^{a_n}}$，a₁=1，
∴b₁=2，
∵数列{b_n}是公比为16的等比数列，
∴b_n=2•16^n-1=2^4n-3，
∵${b_n}={2^{a_n}}$．
∴a_n=log₂b_n=4n-3，
∴d=4n-3-4（n-1）+3=4，
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为4的等差数列，
∴S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）=2n²-n，
（2）${c_n}=\frac{S_n}{n}•{2^{n-1}}$=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
∴2T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴-T_n=1+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ=2•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-1-（2n-1）•2ⁿ
=（3-2n）•2ⁿ-3
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式和前n项和公式，以及错位相减法求和，属于中档题．