对于定义在区间D上的函数y=f(x).若存在x0∈D.对任意的x∈D.都有f(x)≥f(x0).则称函数f(x)在区间D上有“下界 .把f(x0)称为函数f(x)在D上的“下界．(1)分别判断下列函数是否有“下界 ?如果有.写出“下界 .否则请说明理由,f1.f2(x)=x+$\frac{16}{x}$．(2)请你类比函数有“下界的定义.写出函数f(x)在区间D上有“上界 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x₀∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≥f（x₀），则称函数f（x）在区间D上有“下界”，把f（x₀）称为函数f（x）在D上的“下界”．
（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；f₁（x）=1-2x（x＞0），f₂（x）=x+$\frac{16}{x}$（0＜x≤5）．
（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；并判断函数f₂（x）=|x-$\frac{16}{x}$|（0＜x≤5）是否有“上界”？说明理由；
（3）若函数f（x）在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f（x）是区间D上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数f（x）在D上的“幅度M”．
对于实数a，试探究函数F（x）=x|x-2a|+3（a≤$\frac{1}{2}$）是否是[1，2]上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值．

分析（1）根据f（x₀）称为函数f（x）在D上的“下界”的定义，判断即可；
（2）类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；通过讨论x的范围，判断函数f₂（x）是否有“上界”即可；
（3）求出F（x）的分段函数式，讨论①当a≤0时，②当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，函数的解析式和对称轴，与区间的关系，由单调性即可得到最值和幅度M的值．

解答解：（1）∵f₁（x）=1-2x（x＞0），∴f₁（x）＜1，无“下界”，
∵f₂（x）=x+$\frac{16}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$=8，当且仅当x=4时“=”成立（0＜x≤5）．
∴f₂（x）=x+$\frac{16}{x}$（0＜x≤5）有“下界”；
（2）对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x₀∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≤f（x₀），
则称函数f（x）在区间D上有“上界”，把f（x₀）称为函数f（x）在D上的“上界”．
f₂（x）=|x-$\frac{16}{x}$|（0＜x≤5），
0＜x＜4时，x-$\frac{16}{x}$＜0，
f₂（x）=$\frac{16}{x}$-x，f₂′（x）=-$\frac{16}{{x}^{2}}$-1＜0，
f₂（x）在（0，4）递减，
x→0时，f₂（x）→+∞，无“上界”，
4≤x≤5时，x-$\frac{16}{x}$＞0，
f₂（x）=x-$\frac{16}{x}$，f₂′（x）=1+$\frac{16}{{x}^{2}}$＞0，
f₂（x）=x-$\frac{16}{x}$在[4，5]递增，f₂（x）≤f₂（5）=$\frac{9}{5}$，
综上，函数f₂（x）=|x-$\frac{16}{x}$|（0＜x≤5）无“上界”；
（3）F（x）=x|x-2a|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2ax+3，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax+3，x＞2a}\end{array}\right.$，
①当a≤0时，F（x）=x²-2ax+3对称轴为x=a，在[1，2]递增，
F（x）_max=F（2）=7-4a，F（x）_min=F（1）=4-2a，
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a；
②当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，F（x）=x²-2ax+3，
区间[1，2]在对称轴的右边，为增区间，
F（x）_max=F（2），F（x）_min=F（1），
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a．
综上可得是[1，2]上的“有界函数”，
“幅度M”的值为3-2a．