题目内容

1．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}\;（{a＞1}）$．
（1）求此函数的定义域D，并判断其奇偶性；
（2）是否存在实数a，使f（x）在x∈（1，a）时的值域为（-∞，-1）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

分析 （1）利用真数大于0，求此函数的定义域D，利用f（-x）=-f（x），判断其奇偶性；
（2）由题意f（a）=-1，即$\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{a}$，从而得出结论．

解答 解：（1）由$\frac{x-1}{x+1}$＞0，可得x＜-1或x＞1，∴D={x|x＜-1或x＞1}；
f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数；
（2）由题意，函数单调递增，f（a）=-1，即$\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{a}$，∵a＞1，∴$a=1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的定义域与值域，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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11．若点（1，2）和点（-1，3）在直线x+ay-1=0的两侧，则实数a的取值范围是$（0，\frac{2}{3}）$．
12．若a∥b，b∩c=A，则a，c的位置关系是（　　）
A．异面直线B．相交直线
C．平行直线D．相交直线或异面直线
9．已知集合A={x|x-1|≤2}，集合$B=\left\{{x\left|{\frac{x-a}{x+3}＜0}\right.}\right\}$
（1）若a=1，求集合A∩B；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
16．若cot（${\frac{3π}{2}$-θ）=$\frac{1}{2}$，则$\frac{{sin（{3π-θ}）+sin（{\frac{3}{2}π+θ}）}}{{cos（{\frac{π}{2}+θ}）+cos（{π-θ}）}}$=$\frac{1}{3}$．
6．对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称函数f（x）在区间D上有“下界”，把f（x0）称为函数f（x）在D上的“下界”．
（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；f1（x）=1-2x（x＞0），f2（x）=x+$\frac{16}{x}$（0＜x≤5）．
（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；并判断函数f2（x）=|x-$\frac{16}{x}$|（0＜x≤5）是否有“上界”？说明理由；
（3）若函数f（x）在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f（x）是区间D上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数f（x）在D上的“幅度M”．
对于实数a，试探究函数F（x）=x|x-2a|+3（a≤$\frac{1}{2}$）是否是[1，2]上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值．
13．对函数$f（x）=\frac{ax+1}{x-1}$（其中a为实数，x≠1），给出下列命题；
①当a=1时，f（x）在定义域上为单调递减函数；
②对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；
③当a=1时，f（x）为偶函数；
④关于x的方程f（x）=0最多有一个实数根，
其中正确命题的序号为②④，（把所有正确的命题序号写入横线）
10．实数m分别取什么数值时？复数z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i满足：
（1）纯虚数；
（2）与复数12+16i互为共轭．
11．若f（x）的定义域为R，f'（x）＞1恒成立，f（-1）=1，则f（x）＞x+2解集为（　　）
A．（-1，1）B．（-1，+∞）C．（-∞，-1）D．（0，+∞）

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