Question

10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），倾斜角a=$\frac{π}{6}$的直线l经过点P（1，2）．
（1）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根据sin²θ+cos²θ=1，消去θ得到圆的标准方程，根据倾斜角与直线l过点P，确定出直线l的参数方程即可；
（2）把直线方程代入圆方程，整理后利用韦达定理即可确定出所求式子的值．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$，
根据sin²θ+cos²θ=1，消去θ，得$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
整理得：圆的标准方程为x²+y²=16，
∵倾斜角a=$\frac{π}{6}$的直线l经过点P（1，2），
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t•cos\frac{π}{6}}\\{y=2+t•sin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）把直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²=16中，得：（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（2+$\frac{1}{2}$t）²=16，
整理得：t²+（2+$\sqrt{3}$）t-11=0，
由韦达定理得：t₁t₂=-11，
则|PA|•|PB|=11．

点评 此题考查了参数方程化为普通方程，熟练掌握参数方程与普通方程之间的转化是解本题的关键．