Question

11．已知O为△ABC的外心，且$|{\overrightarrow{AB}}|=7，|{\overrightarrow{AC}}|=5$，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值为-12．

Answer 1

分析 过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．利用垂经定理及数量积的运算性质可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²．再利用向量的三角形法则、数量积的运算性质即可得出．

解答 解：如图所示，
过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²=$\frac{1}{2}$×（5²-7²）=-12．
故答案为：-12．

点评 本题考查了三角形的外心性质、垂径定理、向量的三角形法则及数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．