Question

5．记函数f（x）=-2m+2msin（x+$\frac{3π}{2}$）-2cos²（x-$\frac{π}{2}$）+1，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]的最小值为h（m）．
（1）求h（m）；
（2）若h（m）=$\frac{1}{2}$，求m及此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）把函数f（x）化成关于cosx的函数，利用换元法把问题转化为二次函数的问题，讨论对称轴的位置，求出函数f（x）的最小值h（m）；
（2）根据分段函数h（m）=$\frac{1}{2}$，求出对应m的值，计算f（x）的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=-2m+2msin（x+$\frac{3π}{2}$）-2cos²（x-$\frac{π}{2}$）+1
=-2m-2mcosx-2sin²x+1
=-2m-2mcosx-2（1-cos²x）+1
=2cos²x-2mcosx-2m-1，
又x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴cosx∈[0，1]，
令t=cosx，则0≤t≤1，
则函数f（t）=2t²-2mt-2m-1，且对称轴为t=$\frac{m}{2}$；
当0≤$\frac{m}{2}$≤1，即0≤m≤2时，
f（t）_min=f（$\frac{m}{2}$）=-$\frac{{m}^{2}}{2}$-2m-1；
当$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2时，
f（t）_min=f（1）=-4m+1；
当$\frac{m}{2}$＜0，即m＜0时，
f（t）_min=f（0）=-2m-1；
综上，f（x）的最小值是
h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-4m+1，m＞2}\\{-\frac{{m}^{2}}{2}-2m-1，0≤m≤2}\\{-2m-1，m＜0}\end{array}\right.$；
（2）若h（m）=$\frac{1}{2}$，则m＞2时，-4m+1=$\frac{1}{2}$，
解得m=$\frac{1}{8}$，不满足条件，舍去；
0≤m≤2时，-$\frac{{m}^{2}}{2}$-2m-1=$\frac{1}{2}$，
解得m=-1或m=-3，不满足条件，舍去；
m＜0时，-2m-1=$\frac{1}{2}$，解得m=-$\frac{3}{4}$；
综上，m=-$\frac{3}{4}$；
此时f（t）=2t²+$\frac{3}{2}$t+$\frac{1}{2}$在t∈[0，1]上单调递增，
∴f（x）的最大值是f（1）=2+$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=4．

点评 本题主要考查了三角函数的最值问题，一般的方法是转化为二次函数的问题，利用二次函数的性质求得最值，是综合题．