Question

13．已知圆${C_1}：{（{x-4}）^2}+{（{y-2}）^2}=20$与y轴交于O，A两点，圆C₂过O，A两点，且直线C₂O与圆C₁相切；
（1）求圆C₂的方程；
（2）若圆C₂上一动点M，直线MO与圆C₁的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由（x-4）²+（y-2）²=20，令x=0，解得y=0或4．圆C₂过0，A两点，可设圆C₂的圆心C₁（a，2）．直线C₂O的方程为：y=$\frac{1}{2}$x，即x-2y=0．利用直线C₂0与圆C₁相切的性质即可得出．
（2）存在，且为P（3，4）．设直线OM的方程为：y=kx．代入圆C₂的方程可得：（1+k²）x²+（2-4k）x=0．可得M的坐标．同理可得N的坐标．设P（x，y），线段MN的中点E，利用k_PE•k=-1即可得出．

解答 解：（1）由（x-4）²+（y-2）²=20，令x=0，解得y=0或4．
∵圆C₂过O，A两点，∴可设圆C₂的圆心C₁（a，2）．
直线C₂O的方程为：y=$\frac{1}{2}$x，即x-2y=0．
∵直线C₂O与圆C₁相切，∴$\frac{|a-4|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，解得a=-1，
∴圆C₂的方程为：（x+1）²+（y-2）²=$（\sqrt{5}）^{2}$，化为：x²+y²+2x-4y=0．
（2）存在，且为P（3，4）．
设直线OM的方程为：y=kx．
代入圆C₂的方程可得：（1+k²）x²+（2-4k）x=0．
x_M=$\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$，y_M=$\frac{4{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$．
代入圆C₁的方程可得：（1+k²）x²-（8+4k）x=0．
x_N=$\frac{8+4k}{1+{k}^{2}}$，y_N=$\frac{4{k}^{2}+8k}{1+{k}^{2}}$．
设P（x，y），线段MN的中点E$（\frac{4k+3}{1+{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}+3k}{1+{k}^{2}}）$．
则$\frac{\frac{4{k}^{2}+3k}{1+{k}^{2}}-y}{\frac{4k+3}{1+{k}^{2}}-x}$×k=-1，
化为：k（4-y）+（3-x）=0，
令4-y=3-x=0，解得x=3，y=4．
∴P（3，4）与k无关系．
∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立．

点评 本题考查了圆的标准方程及其应用、直线与圆相交问题、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．