Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：

lnn

n+1

≤

n-1

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k=

k+1-kx

x-1

，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）当k≤0时，f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1≤0不可能恒成立；当k＞0，f（x）_max=f（

1

k

+1）=-lnk，由此能确定实数k的取值范围．
（3）构造函数F（x）=lnx-

x2-1

2

，（x＞1），F′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

＜0，由此利用导数性质能证明

lnn

n+1

≤

n-1

2

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k=

k+1-kx

x-1

，
当k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；
当k＞0时，f（x）在（1，

1

k

+1）递增，（

1

k

+1，+∞）递减．
（2）解：当k≤0时，∵-k（x-1）+1＞0，（x＞1），
∴f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1≤0不可能恒成立，
当k＞0，由（1）可知f（x）_max=f（

1

k

+1）=ln

1

k

-1+1=-lnk，
由-lnk≤0，得k≥1，
∴f（x）≤0恒成立时，k≥1．
（3）证明：构造函数F（x）=lnx-

x2-1

2

，（x＞1），
F′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

＜0，
∴F（x）在（1，+∞）递减，
∴F（x）＜F（1），即lnx-

x2-1

2

＜0，
∴

lnx

1+x

＜

x-1

2

．
∴

lnn

n+1

≤

n-1

2

（n∈N^*）．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．