Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax+1．a∈R
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导并令导数为0，检验导数附近左右两侧的符号即可，（Ⅱ）恒成立问题转化为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²-a，
∴当x=1时，f′（1）=1²-a=0，
∴a=1；
又∵在x=1的附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，
即a=1．
（II）∵?x∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
∴f′（x）=x²-a≠-1对x∈R成立，
只要f′（x）=x²-a的最小值大于-1即可，
而f′（x）=x²-a的最小值为f′（0）=-a，
∴-a＞-1，
即a＜1．

点评：本题考查了导数综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．