Question

已知△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值与△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值分别对应相等，试判断△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的形状，并给出证明．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,三角形的形状判断

专题：三角函数的图像与性质,推理和证明

分析：利用已知条件判断△A₁B₁C₁是锐角三角形，排除△A₂B₂C₂是直角三角形以及是锐角三角形，即可得到结果．

解答： 解：△A₁B₁C₁是锐角三角形△A₂B₂C₂是钝角三角形．
证明：由题意可知：

cosA1=sinA2＞0 cosB1=sinB2＞0 cosC1=sinC2＞0

，
可证得A₁，B₁，C₁均为锐角，
∴△A₁B₁C₁为锐角三角形-----------------------4’
∵A1，B1，C1∈(0，

π

2

)，
∴cosA₁，cosB₁，cosC₁∈（0，1）
∴sinA₂，sinB₂，sinC₂∈（0，1）
∴A2，B2，C2≠

π

2

∴△A₂B₂C₂不可能是直角三角形-----------------6’
假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，
则cosA1=sinA2=cos(

π

2

-A2)，cosB1=sinB2=cos(

π

2

-B2)cosC1=sinC2=cos(

π

2

-C2)
∵A₂，B₂，C₂均为锐角，∴

π

2

-A2，

π

2

-B2，

π

2

-C2也为锐角
又∵A₁，B₁，C₁均为锐角，∴A1=

π

2

-A2，B1=

π

2

-B2，C1=

π

2

-C2
三式相加得π=

π

2

，显然不成立
∴假设不成立，△A₂B₂C₂不是锐角三角形
综上，△A₂B₂C₂是钝角三角形．--------------------------12’

点评：本题考查三角形的形状的判断以及证明，反证法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．