Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，F是AB的中点，AC=BC=1，AA₁=2．
（1）求证：CF∥平面AB₁E；
（2）求三棱锥C-AB₁E的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AB中点M，连MF，ME，易证四边形MFCE是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得CF∥平面AB₁E；
（2）依题意，可证得BC⊥侧面AC₁，利用等体积转换，即可求出三棱锥C-AB₁E的体积．

解答： （1）证明：取AB中点M，连MF，ME，
∵E为CC₁中点，F为AB中点，
∴MF∥B₁B，MF=

1

2

B1B，EC∥B₁B，EC=

1

2

B1B，
∴MF∥EC，且MF=EC，
∴MFCE为平行四边形，
∴CF∥EM，
∵CF?平面AB₁E，EM?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．
（2）解：∵AA₁⊥底面ABC，∴侧面AC₁⊥底面ABC，
又∠ACB=90°，BC垂直于交线AC，∴BC⊥侧面AC₁．
∵AC=BC=1，AA₁=2，
∴S△ACE=

1

2

•1•1=

1

2

，
∴VO-AB1E=VB1-ACE=VB-ACE=

1

3

•

1

2

•1=

1

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质，考查三棱锥的体积轮换公式的运用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．