Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的极小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）证明不等式：x³≥x²-ln（x+1）（x≥0）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值,不等式的证明

专题：导数的综合应用

分析：（1）当b=-12时令由f′（x）=

2x2+2x-12

x+1

=0得x=2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，3]的极小值在x=2时取得．
（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

解之求b的范围．
（3）先构造函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x²-x³．

解答： 解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）
b=-12时，由f′（x）=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=3舍去），
当x∈[1，2）时f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）_极小值=f（2）=4-12ln³
（2）由题意f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+2x+b，则

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜b＜

1

2

（3）当b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1）．令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
则h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即当x∈（0，+∞）时，有x³-x²+ln（x+1）＞0，
即x³≥x²-ln（x+1）．

点评：本题第一问较基础只需判断f（x）在定义域的单调性即可求出极小值．而第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点．主要考查了函数的单调性，以及导数的应用和不等式的证明方法，属于中档题．