Question

已知a∈R，设函数f（x）=3x-alnx+1
（1）若a=3e（e为自然常数），求函数f（x）在[0，2e]上的最小值；
（2）判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）若a=3e，则f（x）=3x-3elnx+1f′(x)=3-

3e

x

=

3(x-e)

x

，从而f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，2e]上单调递增．故 当x=e时，函数f（x）取得最小值，最小值是f（e）=1；
（2）由f′(x)=3-

a

x

=

3x-a

x

，讨论当a≤0，a＞0时的情况，从而得出函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）若a=3e，则f（x）=3x-3elnx+1
f′(x)=3-

3e

x

=

3(x-e)

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞e，
令f′（x）＜0，解得：x＜e，
∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，2e]上单调递增．
故 当x=e时，函数f（x）取得最小值，最小值是f（e）=1
（2）由题意可知，函数f（x）的定义域是（0，+∞）
又f′(x)=3-

a

x

=

3x-a

x

当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，
令f′(x)=

3x-a

x

＞0解得，x＞

a

3

，此时函数f（x）是单调递增的
令f′(x)=

3x-a

x

＜0解得，0＜x＜

a

3

，此时函数f（x）是单调递减的
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是(

a

3

，+∞)，单调递减区间是(0，

a

3

)

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想．