Question

设S_n表示数列{a_n}的前n项和．
（1）若{a_n}为公比为q的等比数列，写出并推导S_n的计算公式；
（2）若a_n=2ⁿ，b_n=nlog₂（S_n+2），求证：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）Sn=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

．利用“错位相减法”即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式和“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）Sn=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

．
证明：∵S_n=a₁+a₂+…+a_n，
∴Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1   ①
将①式乘以公比q，可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn   ②
①-②得：(1-q)Sn=a1-a1qn，
∴当q≠1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
当q=1时，S_n=a₁+a₁+…+a₁=na₁．
因此Sn=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

．
（2）证明：∵an=2n，
∴a₁=2，q=2．
S_n=

2(1-2n)

1-2

2ⁿ⁺¹-2，
∴b_n=nlog₂（S_n+2）=nlog2(2n+1-2+2)=n（n+1），
因此

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、“错位相减法”、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．