Question

已知函数f（x）满足对于任意实数x∈R，均有f（x）+2f（-x）=e^x+2（

1

e

）^x+x成立．
（1）求f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．（n∈N⁺）

Answer 1

考点：反证法与放缩法,抽象函数及其应用

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）利用已知条件以-x换x，得到方程组，求出函数的解析式，求出函数的导函数，利用函数的单调性求解函数的最大值．
（2）利用（1）的结论，推出e^x≥x+1，得到1-

k

n

≤e-

k

n

，利用放缩法以及等比数列求和推出结果．

解答： 解：（1）依题意得

f(x)+2f(-x)=ex+2( 1 e )x+x f(-x)+2f(x)=( 1 e )x+2ex-x

解之得f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，
当x＞0时f′（x）＞0当x＜0时f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上递减在（0，+∞）上递增
∴f（x）_min=f（0）=1
（2）由（1）得 e^x-x≥1恒成立，则e^x≥x+1
在e^x≥x+1中令x=-

k

n

(k=1，2，…，n-1)
∴1-

k

n

≤e-

k

n

，∴(1-

k

n

)n≤e-k，
∴(1-

1

n

)n≤e-1，(1-

2

n

)n≤e-2，…，(1-

n-1

n

)n≤e-(n-1)，(

n

n

)n=1，
∴(

n

n

)n+(

n-1

n

)n+(

n-2

n

)n+…+(

1

n

)n≤1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=

1-( 1 e )n

1- 1 e

=

e[1-( 1 e )n]

e-1

＜

e

e-1

．

点评：本题考查函数的导数以及最大值的求法，放缩法证明不等式以及数列求和指数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．