Question

已知非零数列{a_n}的递推公式为a₁=1，a_n=a_n•a_n+1+2a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{1+

1

an

}是等比数列；
（2）若关于n的不等式

1

n+log2(1+ 1 a1 )

+

1

n+log2(1+ 1 a2 )

+…+

1

n+log2(1+ 1 an )

＜m-

5

2

有解，求整数m的最小值．
（3）在数列{

1

an

+1-（-1）ⁿ}（1≤n≤11）中，是否一定存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s所满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导了

1

an+1

-

2

an

=1，从而得到

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，由此能证明{1+

1

an

}是等比数列．
（2）由（1）知1+

1

an

=2ⁿ，由题设条件得到

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＜m-

5

2

，令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，由f（n）是增函数，能求出整数m的最小值．
（3）由已知条件推导出

1

an

+1+(-1)n=2ⁿ+（-1）ⁿ=b_n，要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁+b_s=2b_r，由此求出存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列．

解答： （1）证明：∵非零数列{a_n}的递推公式为a₁=1，a_n=a_n•a_n+1+2a_n+1（n∈N^*），
∴

1

an+1

-

2

an

=1，
∴

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
∴{1+

1

an

}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）解：∵{1+

1

an

}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴1+

1

an

=2ⁿ，
∵

1

n+log2(1+ 1 a1 )

+

1

n+log2(1+ 1 a2 )

+…+

1

n+log2(1+ 1 an )

＜m-

5

2

，
∴

1

n+log2(1+ 1 a1 )

+

1

n+log2(1+ 1 a2 )

+…+

1

n+log2(1+ 1 an )

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＜m-

5

2

，
令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
则f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴f（n）是增函数，
∴f（n）_min=f（1）=

1

2

，
∴

1

2

＜m-

5

2

．解得m＞3，
∴整数m的最小值为4．
（3）∵1+

1

an

=2ⁿ，
∴an=

1

2n-1

，
∴

1

an

+1+(-1)n=2ⁿ+（-1）ⁿ=b_n，
要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁+b_s=2b_r，
即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，
∵s≥r+1，∴2^s-2^r+1≥0，
∵（-1）^s-2（-1）^r-3≤0，
∴当且仅当s=r+1，且s为不小于的偶数时，
存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列．

点评：本题考查等比数列的证明，考查最小值的求法，考查数列中存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列的证明，解题时要注意等价转化思想的合理运用．