Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，左、右焦点分别为F₁，F₂，点G在椭圆C上，且∠F₁GF₂=60°，△GF₁F₂的面积为

3

．
（1）求椭圆C的方程：
（2）设椭圆的左、右顶点为A，B，过F₂的直线l与椭圆交于不同的两点M，N（不同于点A，B），探索直线AM，BN的交点能否在一条垂直于x轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出e=

c

a

=

1

2

，b²tan30°=

3

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知A（-2，0），B（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，求出线AM，BN的交点在直线x=4上；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），代入椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k）x²-8k²x+4（k²-3）=0，利用韦达定理结合已知条件推导出直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

解答： 解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c，
∵左、右焦点分别为F₁，F₂，点G在椭圆C上，
且∠F₁GF₂=60°，△GF₁F₂的面积为

3

．
∴b²tan30°=

3

，解得b=

3

，
解得c=1，∴a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）知A（-2，0），B（2，0），
①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，
直线l与椭圆C的交点坐标M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），
此时直线AM：y=

1

2

（x+2），BN：y=

3

2

（x-2），
联立两直线方程，解得两直线的交点坐标（4，3），
它在直线x=4上．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l：y=k（x-1），代入椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，
整理，得（3+4k）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
设直线l与椭圆C交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4(k2-3)

3+4k2

，
直线AM的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，即y=

k(x1-1)

x1+2

(x+2)，
直线BN的方程为y=

y2

x2-2

(x-2)，即y=

k(x2-1)

x1-2

(x-2)，
由直线AM与直线BN的方程消去y，得
x=

2(2x1x2-3x1+x2)

x1+3x2-4

=

2[2x1x2-3(x1+x2)+4x2]

(x1+x2)+2x1-4

=

2[ 8(k2-3) 3+4k2 - 24k2 3+4k2 +4x2]

8k2 3+4k2 -4+2x1

=

4(- 4k2+6 3+4k2 +x2)

- 4k2+6 3+4k2 +x2

=4，
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．
综上所述，直线AM，BN的交点必在一条垂直于x轴的定直线上，
这条直线的方程是x=4．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．