Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知平面向量

m

=（sin（π-C），cosC），

n

=（sin（B+

π

2

），sinB），且

m

•

n

=sin2A．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=1，求边c的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数集合二倍角公式，求出cosC，然后求sinA的值；
（2）化简cosB+cosC=1为A，C的关系，然后求出C的大小，然后求边c的值．

解答： 解：（1）由题意

m

=（sin（π-C），cosC）=（sinC，cosC），

n

=（sin（B+

π

2

），sinB）=（cosB，sinB），
∵

m

•

n

=sin2A，
∴sin2A=sinCcosB+sinBcosC …（2分）
得2sinAcosA=sin（B+C）=sinA …（4分）
由于△ABC中，sinA＞0，∴2cosA=1，cosA=

1

2

…（5分）
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

 …（6分）
（2）由cosB+cosC=1得-cos（A+C）+cosC=1 …（7分）
即sinAsinC-cosAcosC+cosC=1，

3

2

sinC+

1

2

cosC=1…（9分）
得sin（C+

π

6

）=1，∵0＜C＜

2π

3

，∴

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，平方得C=

π

3

…（12分）
所以△ABC为正三角形，∴c=1…（14分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．