Question

已知双曲线方程2x²-y²=2．
（1）求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
（2）过点（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于Q₁，Q₂两点，且Q₁，Q₂两点的中点为（1，1）？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A（2，1）是弦P₁P₂的中点，且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用点差法能求出以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．
（2）假设直线l存在．由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2x-y-1=0，联立方程组

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0，由△-8＜0，推导出直线l不存在．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）设A（2，1）是弦P₁P₂的中点，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在双曲线上，∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴2×4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=4，
∴以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：
y-1=4（x-2），整理得4x-y-7=0．
联立

4x-y-7=0 2x2-y2=2

，得14x²-56x-47=0，
∵△=（-56）²+4×14×47＞0，
∴以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x-y-7=0．
（2）假设直线l存在．
设B（1，1）是弦MN的中点，
且Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵Q₁，Q₂在双曲线上，∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
联立方程组

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0
∵△=16-4×3×2=-8＜0，
∴直线l与双曲线无交点，
∴直线l不存在．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．